ر است حداکثر نمائیم:
Max U=log⁡〖c_1 〗+log⁡〖c_2 〗
و یا عبارت زیر را:
Max U=log⁡〖〖〖(w〗_t-v〗_t m_t)〗+log⁡〖(v_(t+1) m_t)〗
نسبت به قید:
P_t c_1t+P_(t+1) c_2t=P_t w_t

که تقاضای واقعی پول اینگونه حاصل می‎آید:
v_t m_t=w_1⁄۲
بنابراین تقاضای پول در این مدل تابعی از موجودی اولیه که در بدو تولد به فرد داده می‎شود و ارزش پول می‎باشد.۳۲
اما همانطورکه بیان گردید این مدل قادر به توضیح دلیل وجود تقاضای پول نیست. مک کالوم (۱۹۸۳) و سارجنت و والاس (۱۹۸۳) بیان می‎کنند که راه حل OLG تصویر ناکامل و ناقصی از پول در مقایسه با دیگر دارایی‎ها ارائه می‎کند. دلیل آن اینست که تقاضای خانوار برای دارایی های پولی تفاوتی با دیگر دارایی‎ها ندارد و بنابراین پول هیچ نقش خاصی را در مدل های تعادل عمومی بازی نمی‎کند. نکته مهم در این مدل آنست که این مدل تأکید بر ذخیره ارزش بودن پول دارد تا واسط مبادله بودن. اما با بررسی شرایط اقتصادی برخی از کشورها از جمله ایران در می‎یابیم، این فرض با شرایط همخوانی نداشته و پول در شرایط فعلی اقتصاد اغلب کشورها بالاخص ایران، نقش ذخیره ارزش بودن را کم‎رنگ‎تر حفظ نموده است.
۲-۱-۵- ۲- مدل‎های مبتنی بر پیش پرداخت نقدی یا محدودیت کلاور۳۳
این مدل‎ها تأکید بر نقش معاملاتی پول دارند و مدل‎های تعادلی پویایی هستند که یک سری قید خاصی را در مدل جا می‎دهند که خریدها طی یک دوره معین باید با پول رایجی که از دوره قبل آورده شده است، پرداخت گردد. به این دلیل به این مدل‎ها کلاور اطلاق می‎شود که وی اولین کسی بود که آن را در سال ۱۹۷۶ مطرح کرد و بعدها و برای استخراج مبانی خرد مدل‎های کلان از جمله تابع تقاضای پول مورد استفاده قرار گرفت. اقتصاددانان بسیار از جمله هادریک و لوکاس و برون از این روش برای استخراج مبانی خردی تابع تقاضای پول استفاده کرده‎اند.
مدل پیش پرداخت نقدینگی لوکاس (۱۹۸۶)، فرض می‎کند که مخارج تنها با پول صورت می‎گیرد. به عبارت دیگر پول به عنوان وسیله مبادله رفتار می‎کند. تقاضای پول با انگیزه معاملاتی تعیین می‎گردد. با این وجود این رویکرد، کاربرد پول برای مبادلات را توضیح نمی‌دهد. به خصوص اینکه انگیزه تقاضای معاملاتی پول به این دلیل است که نقص بازار نیاز به وسیله مبادله را ایجاد می کند که این در دنیای بدون اصطکاک والراس وجود ندارد.
برخی مدل‎های خاص آن فرض می کنند که پول مطلوبیت دارد و لذا به عنوان ابزاری در تابع مطلوبیت بنگاه نمونه معرفی می‎گردد. اما با این وجود، مخالفان این رویکرد بحث می‎کنند که دارایی‎ها شامل پول به طور مستقیم مطلوبیت ایجاد نمی‏کنند. و پول تنها به این دلیل که هزینه مبادلات را کاهش می دهد نگهداری می شود. مک کالوم (۱۹۸۳)، فینسترا (۱۹۸۶) و برخی دیگر از اقتصاددانان بحث می‎کنند که پول تنها در صورتی می‎تواند وارد تابع مطلوببیت گردد که به صورت غیرمستقیم مطلوبیت ایجاد کند. در این صورت پول به طور غیرمستقیم به تابع مطلوبیت وارد می‎شود. ۳۴
این مدل مبتنی بر مفروضات زیر است:
در این اقتصاد نماینده کارگزار دو نوع اوراق بهادار نگهداری می‎کند که این اوراق شامل درخت پول با سهام هستند. درخت دارایی بر اساس تعریف لوکاس معروف است و در متون اقتصادی کاربرد وسیعی دارد انتخاب و به این نام نامیده می‎شود. به طور مشخص درخت نماد سپرده سرمایه‎گذاری در بانک است که توسط مشتری در بانک نگهداری می‎شود. این نماد همچنین شامل انواع دیگر دارایی‎ها، به استثنا اوراق قرضه از جمله کالاهای بادوام و طلا می‎شود. نگهداری این نوع دارایی‎ها برای جلوگیری از کاهش ارزش پول می‎‏باشد، که به علت تورم رخ می‎دهد. اوراق قرضه در این اقتصاد وجود ندارد، ازین رو دولت برای تأمین مالی اوراق قرضه منتشر نمی‎کند بلکه نرخ مالیات بر نیروی کار اعمال می‎کند. در این مدل پول به صورت صریح در تابع مطلوبیت ظاهر نمی‎شود بلکه کارگزار نماینده باید قبلا برای مخارج مصرفی خود پول ذخیره نماید. همچنین فرض شده است دو گروه کالای مصرفی وجود دارد که عبارتند از کالای نقدی و کالای اعتباری. کالای نقدی را می‎توان فقط با پول نقد که قبلاً جمع شده است، خریداری کرد. در حالیکه کالاهای اعتباری را با درآمد نیروی کار به موازات اینکه وصول می‎شود خریداری کرد. تفاوت بارز این دو کالا به این شکل مشخص می‎شود که در بعضی مغازه ها خریدار برای فروشنده که تمایل به فروش کالای خود به صورت اعتباری دارد شناخته شده است که در این حالت صورت حساب در آغاز دوره بعد پرداخت می‎شود. برای گروه دیگر خریدار برای فروشنده شناخته شده نیست که در این شرایط داد و ستد با پول صورت می‎گیرد.۳۵
محبوبیت رویکرد پیش نقدینگی به این دلیل است که یک راه ساده برای تزریق پول به چارچوب پویای اقتصاد کلان بوجود آورده است. با این وجود باتوجه به رفتار پول در مدل، این رویکرد پیشنهاد نمی‏گردد؛ تا آنجاکه پول در نهایت توسط اکثر محققان به عنوان یک مهم برای سیاست‎گزاری پیشنهاد نمی‏گردد.
۲-۱-۵-۳- مدل زمان- خرید۳۶
رویکرد زمان- خرید اولین بار توسط سیوینگ۳۷ (۱۹۷۱) مطرح گردید؛ و مک کالوم۳۸ و گودفرند۳۹ این رویکرد را برای اولین بار در تقاضا برای پول نشان دادند. این رویکرد مسئله تخصیص استاندارد زمانی که فرد کار می‎کند و مصرف می‎کند را بیان نمود. و این مسئله زمانی است که مشخص گردد مصرف زمان می برد. استفاده از پول به فرد این اجازه را می‎دهد که میزان زمان اختصاص یافته به مصرفش را کاهش دهد، بنابراین زمان موجود برای
کار و اوقات فراغت آزاد می‏گردد و در نتیجه مطلوبیت نهایی و بازده ضمنی صورت می‎پذیرد.
در یک چارچوب گسترده اقتصاد کلان، رویکرد زمان خرید به روش درون زمانی، مقادیر پولی مطلوب و مصرف را تعیین می نماید که بیشتر برای اقتصاددانان علاقه‎مند به مدل‎های تعادل عمومی پویای پیشرفته مطلوب است. از منظر تجربی، در این رویکرد، در برآوردهای اقتصادسنجی، تابع تقاضای پول باید شامل مصرف به عنوان متغیر مقیاس باشد به جای درآمد. رویکرد زمان خرید به نظریه پردازان، یکپارچه سازی پول در مدل‎های بهینه‎سازی را پیشنهاد می‎دهد؛ در حالیکه از پیچیدگی تعاریف مقادیر پولی رجحان نقدینگی و یا انبارداری سنتی به مدل‎های تعادل عمومی پویا پرهیز می‎کند و از محدودیت‎های تأکید بر ذخیره ارزش بودن پول در مدل‎های OLG اجتناب می‎ورزد.
بعلاوه همانطورکه فینسترا خاطر نشان می‎کند (۱۹۸۶)، مفاهیم اساسی مدل زمان خرید می‎تواند تقلیدی از رویکرد پول در تابع مطلوبیت پتینکن باشد که مدت زمان طولانی توسط تئوریسین های کلان قبل از تغییر رویه به سمت تحلیل‎های اقتصاد خرد استفاده می‎شده است.
مک کالوم در این رویکرد با درنظر گرفتن خانوار فرضی سعی می‎کند عبارت زیر را حداکثر کند:
U=U(c_t,l_t )+βu(c_(t+1),l_(t+1) )+ β^۲ u(c_(t+2),l_(t+2) )+…. (معادله ۱)
ct برابر مصرف خانوار و lt برابر اوقات فراغت خانوار می‎باشد. همچنین β=۱/(۱+δ) نرخ ترجیح زمانی می‎باشد.
تابع مطلوبیت درون دوره u(0,0) زمانی مطلوب خواهد بود که مقادیر منحصر به فرد مثبتی برای مصرف و اوقات فراغت بدست آید. خانوار به تکنولوژی تولیدی دسترسی دارد که توسط تابع تولید توضیح داده می‎شود که همگن از درجه ۱ نسبت به نیروی کار و سرمایه است. اما با فرض نیروی کار تقریباً بی‎کشش این تابع را می‎توان اینگونه نوشت:
Yt=ƒ(kt-1)
Yt تولید در دوره t و kt-1 موجودی سرمایه نگهداری شده در انتهای دوره می‎باشد. سرمایه یک محصول مصرف نشده است. بنابراین قیمت آن مانند کالای مصرفی است و نرخ بازده آن نیز بین t و t+1 برابر ƒ'(kt) است.
گرچه این مجموعه وجود تنها یک کالا را تشخیص می‎دهد، اما می‎خواهد اقتصاد ساده ای را ارائه دهد که در آن خانوار محصول خاص خود را می‎فروشند و خریدهای خود را از تعداد وسیع کالاهای مصرفی متمایز (در قیمت‌های نسبی) انجام می‎دهند. انجام این خریدها، زمان خرید لازم دارند، st، که از اوقات فراغت lt، کسر شده است.
l_t=1-s_t
یعنی یک واحد زمان در هر دوره صرف اوقات فراغت و خرید می‎شود. (اگر نیروی کار تقریباً باکشش بود، در آن صورت زمان نیروی کار نیز در عبارت خواهد آمد) با این وجود در یک اقتصاد پولی میزان خرید لازم برای میزان معین مصرف به طور معکوس به میزان مقادیر پولی که توسط خانوار نگهداری می‎شود، ارتباط دارد. فرض کنید که:
s_t= ψ(c_t,m_t)
که m_t مقدار پول حقیقی نگهداری شده است که مقدار آن برابر است با:
m_t=M_t⁄P_t
که Mt حجم اسمی پول، pt قیمت پولی یک مجموعه مصرفی است.
در کنار سرمایه و پول، دارایی سومی نیز در دسترس خانوار است و آن اوراق اسمی است. اوراق بهادار یک دوره که ممکن است در قیمت ۱/(۱+Rt) در دوره t خریداری شده باشد و برای یک واحد پول در t+1 پرداخت شود (فروخته شود). علامت Bt برای نشان دادن تعداد اوراق خریداری شده توسط خانوار در دوره t بکار می‎رود، در حالیکه اوراق واقعی استفاده شده در این معادلات برابر است با: bt=Bt/Pt
در این مدل جانشین‎های پول نقشی ندارد. چرا که این رویکرد برمبنای نقش معاملاتی بودن پول است. و بحث جانشین های پول زمانی مطرح می‎شود که بر نقش ذخیره ارزش بودن پول تأکید شده باشد. و اوراق قرضه در این مدل تنها نقش تبدیل پول از یک دوره به دوره بعد را دارد. لذا قیمت واحد برای آن متصور شده است.
قید بودجه خانوار در دوره t را اینگونه می‎توان نوشت:
f(k_(t-1) )+υ_t+〖〖(۱+π〗_t)〗^(-۱) b_(t-1)+〖〖(۱+π〗_t)〗^(-۱) m_(t-1)=C_t+k_t-k_(t-1)+m_t+〖〖(۱+R〗_t)〗^(-۱) b_t
در اینجا υt برابر ارزش واقعی پرداخت‎های انتقالی از جانب دولت (خالص مالیات)، Rt معادل نرخ بهره می‎باشد و пt نرخ تورم است:
πt = (pt – pt-1)/pt-1
در رابطه فوق دقت شود مک کالوم و گودفریند قید بودجه خانوار را به صورت واقعی ذکر نموده اند. در ادامه به منظور برآورد تقاضای پول و همچنین بهینه آن، تبدیل قید اسمی به قید واقعی نشان داده خواهد شد. با هدف بهینه‎سازی مطلوبیت خانوار (معادله ۱)، قیود بهینه مرتبه اول اینگونه حاصل می‎شوند:
U1(ct , 1-st) – φtψ۱ (ct , mt) – λt= 0
– U2(ct , 1-st) + φt=0
– φtψ۲ (ct , mt) – λt + β λt+1(1+ πt)-1 = 0
– λt + β λt+1(ƒ(kt) + 1) = 0
– λt (1+Rt)-1 + + β λt+1(1+ πt)-1 = 0
این قیود ، مقادیر جاری و برنامه‎ریزی شده mt و ct و st و kt و bt و λt برای مسیر زمانی مشخص υt و Rt و пt (که برای خانوار برونزا هستند) را تعیین می‎کند. همچنین مقادیر lt از (lt=1-st) حاصل می‎آید.
انتخاب بهینه خانوار از mt برحسب دو مفهوم متمایز از تابع تقاضای پول توضیح داده شود: اولین آن تابع تقاضای مناسبی است که رابطه بین مقادیر انتخابی به عنوان تابعی از متغیرها می‎باشد که یا از پیش تعیین شده یا برونزا به اقتصاد مورد بحث می‎باشد. تابع تقاضای پول بدین نوع، به فرم زیر خواهد بود:
mt= µ(kt-1 , mt-1 , bt-1 , υt , υt+1 , … , Rt , Rt+1 , … , πt , πt+1 , …)
متغیرها، مقادیر پیش‎بینی شده نیز می‎باشند. واضح است که این رابطه همانند آنچه در ادبیات پولی به عنوان تابع تقاضای پول توضیح داده شد، نمی‎باشد.
دوم رابطه تقاضای پول به فرم زیر می‎باشد که از حذف جزء β λt+1(1+ πt)-1 از معادلات بهینه مرتبه اول حاصل می‎آید.
F(m,c,R
)=۰
اگر رابطه فوق قابل حل باشد باید به رابطه زیر برسیم:
M/P=f(C,R)
که در رابطه فوق دو مجهول C و M وجود دارد که اگر C را تخمینی از Y درنظر بگیریم، معادله تقاضای پول ما حاصل می‎شود. در توجیه این مطلب می‎توان بیان نمود که در حالت تسویه بازارها مصرف کل با درآمد کل برابری می‏نماید.۴۰
۲-۱-۶- خلاصه و جمع بندی
در مکتب کلاسیک، پول به عنوان شمارشگر۴۱ تلقی می‌شود. تئوری مقداری ابزاری برای درک تقاضای پول تهیه کرد. نگرش مانده نقدی اقتصاد دانان دانشگاه کمبریج، بطور واضح بر تقاضای پول به عنوان تقاضای مردم برای «نگهداری» پول، و رابطه تقاضای حقیقی پول و درآمد حقیقی تأکید کرد. کینز براساس نگرش کمبریج، تئوری تقاضای خود را بر مبنای انگیزه‎های که مردم را در نگهداری پول تشویق می‌کند بنا کرد و نرخ بهره را به